5.5.2.1 Die Geometrie der Anti-De-Sitter Raumzeit

5.5.2.1 Die Geometrie der Anti-De-Sitter Raumzeit

1. Die Parameter der Anti-De-Sitter Raumzeit

Die Anwendung des holografischen Prinzips gelang erfolgreich zum erstenmal am Beispiel der „AdS/CFT Dualität (vgl. 5.6.4).
Der Anti-De-Sitter Raum ist wie der „DE-Sitter (DS) Raum“ (vgl. 5.5.5.2) eine Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen, besitzt aber im Unterschied zum DS-Raum eine negative kosmologische Konstante Λ < 0 und weist daher eine „hyperbolische„ Geometrie auf. ¹
Die kosmologische Konstante wurde auf den sagenhaft kleinen Werte Λ = 10^-29g/cm³ berechnet. Die Energieform des Anti-de-Sitter-Raumes ist also im Gegensatz zum De-Sitter-Raum anziehend. Dies entspricht der üblichen Wirkung von Gravitation.
Im Gegensatz zu unserem Universum kann ein Anti-de-Sitter-Raum jedoch weder expandieren noch kontrahieren, er sieht zu allen Zeiten gleich aus.]²

„Mit geeigneten Koordinaten beschreibt die AdS-Metrik mit globalen Koordinaten eine ‚globale Region‚ [‚global patch‚] oder mit Poincaré-Koordinaten, die nur eine Hälfte des Anti-DE-Sitter Raums beschreibt.  „Er ähnelt einem hyperbolischen Raum abgesehen davon, dass er auch eine Zeitrichtung beinhaltet.„³

Die AdS Geometrie ist, wie die De-Sitter Geometrie, eine maximal symmetrische Lorentzische Raumzeit (vgl. 5.5.2.2), in der kein Raum- und Zeitpunkt von einem anderen unterschieden werden kann. ⁴ Die einzige „Möglichkeit Richtungen zu unterscheiden, liegt in der Beantwortung der Frage, ob sie:

a).„raumartig„ sind, d.h. ob ein „Ereignis“ (E) außerhalb des Vergangenheits– oder Zukunfts Lichtkegels (VGL, ZGL) des vierdimensionalen Minkowski-Raumes liegt und es daher keine kausale Beziehung von E zu einem Beobachter (O) im VGL oder ZGL geben kann. Dies wäre nur „möglich“, wenn sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken würde.

Abb. 1, „Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärts-Lichtkegel in positiver Zeitrichtung. Der Beobachter eines Ereignisses E befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel (Gegenwart).“

b) ob sie „lichtartig„ sind, d.h. ob ein „Ereignis“ (E) genau auf dem VGL oder ZGL liegt, dann ist das Ereignis für den Beobachter (O) sichtbar bzw. kausal oder

c) ob sie „zeitartig„ sind, d.h. ein „Ereignis“ (E) innerhalb des VGL oder ZGL liegt, dann kann das „Ereignis“ (E) für den Beobachter (O) Ursache (VGL) oder Wirkung (ZGL) sein, da sich die Information des „Ereignisses“ (E) langsamer als das Licht bewegt.

Der AdS kann als Lorentzsches Analogon zu einer Sphäre in einer um eine Dimension erweiterten Raumzeit veranschanschaulicht werden. Die Extra Dimension ist zeitartig.]⁵

Abb. 2 zeigt einen zweidimensionalen hyperboloiden Anti-De-Sitter Raum, eingebettet in einen flachen dreidimensionalen Raum. Die U-und V-Achsen liegen in den Ebene der Rotationssysmmetrie (vgl. 5.5.2.2, Abb. 3), die x-Achse (Normale) steht senkrecht auf diesen Ebenen. Die eingebettete Fläche enthält geschlossene zeitartige Kurven (Kreise), die die X-Achse umgeben. Für konstantes x besteht der Anti-de-Sitter-Raum aus einem Kreis parallel zur u – v -Ebene, d. h. die Zeit verläuft in einem Kreis S¹ um das Hyperboloid.]⁶.

Der AdS Raum besitzt wegen seiner negativen kosmologischen Konstante eine negativen Krümmung bzw. hyperbolische Geometrie. Er kann daher (wie der DS-Raum) als Hyperboloid definiert werden: u² +v² = (a² + x²) / c² wobei a eine Konstante, und c die Lichtgeschwindigkeit ist (vgl. Abb. 2).

Der Anti-DE-Sitter Raum weist weitere merkwürdige physikalische Eigenschaften auf:

„Wenn man irgendwo frei in einem solchen Raum schwebt, hat man den Eindruck, sich am Boden eines Gravitationspotentials aufzuhalten: jedes Objekt, das man fortschleudert, kehrt wie ein Bumerang zurück. Noch überraschender ist, dass die Zeit bis zur Rückkehr nicht von der Wucht des Wurfs abhängt: das Objekt entfernt sich auf seiner Rundreise zwar desto weiter, je mehr Schwung man ihm gibt, aber die Rückkehrzeit bleibt stets dieselbe. Wenn man einen Lichtblitz aussendet, der aus Photonen mit der maximal möglichen Geschwindigkeit besteht, so entfernt er sich unendlich weit und kehrt dennoch in endlicher Zeit wieder zurück. Der Grund für dieses seltsame Phänomen ist eine Art Zeitkontraktion, die mit der Entfernung vom Beobachter zunimmt.[1].“ ⁷

2. Das Problem einer Holografie im AdS Raum

Wladimir Rosenhaus, Mitglied des „Institute for Advanced Study“ der Princeton Universität, stellt in seiner Dissertation „The Holographic Principle and the Emergence of Spacetime“ (2014) fest, dass „die AdS/CFT [Korrespondenz] vielleicht der einfachste und klarste Weg ist, Holograpfie zu verwirklichen.“ Was die holografische Dualität betrifft, müssen nach Rosenhaus [allerdings] zwei Bedingungen erfüllt sein

„Im Besonderen besagt das holografische Prinzip, dass die Theorie, die das Innere [Bulk] einer Sphäre beschreibt, auf der Oberfläche [boundary] lebt und eine Hilbertraum-Dimension besitzt, die durch die Fläche der Sphäre [boundary] festgelegt ist.
AdS/CFT erfüllt eindeutig die erste Bedingung, da die CFT auf der [Grenzfläche der Sphäre] Boundary lebt. Andererseits ist die zweite Bedingung schwieriger, da die Boundary des AdS Raumes eine unendliche Fläche besitzt. Dies ist zwar im Einklang mit der CFT, die einen unendlichen Hilbertraum aufweist, jedoch nicht sehr aussagefähig, wenn es darum geht, die Zahl der Freiheitsgrade [physikalische Größen auf der Fäche der Sphäre] zuzuordnen… Obwohl AdS/CFT vor 15 Jahren entdeckt wurde, sind noch stets viele Aspekte des Wörterbuchs, das Bulk Observable mit Boundary Observablen in Beziehung setzt, unklar.“

Ein derartiges „Wörterbuch“ („dictionary“) ermöglicht dank der Korrespondenz die „Übersetzung“ von Bulk Parametern in Boundary-Parameter und vice versa. ⁸

Wie immer man das von Rosenhaus beschriebene Problem auch zu lösen versucht, als Beschreibung unseres Universums kann der AdS Raum jedenfalls nicht dienen:

„Hochsymmetrisch, leer und fünfdimensional – das Anti-de-Sitter-Universum ähnelt kaum unserem vierdimensionalen Kosmos, der höchst ungleichmäßig von Materie und Strahlung erfüllt ist. Selbst, wenn wir unser Universum durch ein Modell mit homogener Verteilung von Materie und Strahlung approximieren, erhalten wir kein Anti-de-Sitter, sondern ein Friedmann-Robertson-Walker-Universum: Dieses Universum ist unendlich, hat keine Begrenzung und wird ewig weiterexpandieren.“ ⁹

Das AdS Universum ist also ein „Toy-Universum„, das die Möglichkeit bietet holografische Dualitäten zu untersuchen.

1. Artikel „Anti-de-Sitter-Raum“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Anti-de-Sitter-Raum ; zu den Grundlagen topologischer Räume in der Kosmologie vgl. auch Matthias Scholz, „Wie sieht das Universum aus? in: Naturwunder …, [PowerPoint-Präsentation,https [Digitale Ausgabe]: URL: http://www.astrolehrbuch.de/CO/Kosmologie11.pdf ↩︎
2. Ib. ↩︎
3. Juan Maldacena, „The illusion of Gravity“, in: Scientific American, 1. April 2007, [Digitale Ausgabe], URL: https://www.scienticisamerican.com/article/the-illusion-of-gravity-2007-04/ ↩︎
4. Ugo Moschella, The de Sitter and anti-de Sitter Sightseeing Tour, Séminaire Poincaré I, Dipartimento di Fisica e Matematica, Università dell’Insubrioa, Como INFN, Sezioned di Milano, 2005, P. 1, [Digitale Ausgabe], URL: http://www.bourbaphy.fr/moschella.pdf. „In der höherdimensionalen Geometrie ist eine Hypersphäre eine Menge von Punkten in einem gleichen Abstand voin einem gegebenen Punkt, dem Zentrum. Es ist ein Geometrie, die eine Dimension weniger besitzt die des (höherdimensionalen) umgebenden Raums. Wenn der Radius der Hypersphäre zunimmt, nimmt seine Krümmung ab.Im Grenzfall einer Nullkrümmung geht die Hypersphäre in eine Hyperebene über“. (Übers, durch Verf.). Artikel „Hypersphere“ in: Wikipedia,[Digitale Ausgabe], URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Hypersphere ↩︎
5. Haradhan Mohajan, „A Brief Analysis of de Sitter Universe in Relativistic Cosmology“, Universität München, Munich Personal RePEc4 Archive, MPRA Paper No. 83187, , 18 June 2017, p. 2, [Digitale Ausgabe], URL: https://mpra.ub.uni-muenchen.de/83187/1/MPRA_paper_83187.pdf ↩︎
6. Artikel “ De-Sitter Raum“, in Physik für Alle,[Digitale Ausgabe], URL: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/De-Sitter-Raum ↩︎
7. Jonathan Maltz, „de Sitter Harmonies: Cosmological Spacetimes as Resonances“, ^a Center for Theoretical Physics and Department of Physics,University of California at Berkeley, Berkeley, California, 94720,USA and ^bStanford Institute for Theoretical Physics, Stanford University, Stanford, California 94305, USA(Dated: July 10, 2018in: arXiv: 1611.03491v2 [hep-th], 18. February 2017, p. 3, FIG 1, Penrose diagram of de Sitter space. [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1611.03491.pdf ↩︎
8. Vladimir Rosenhaus, The Holographic Principle and the Emergence of Spacetime, Dissertation, University of California, Berkeley, p. 3, [Digitale Ausgabe], URL: https://escholarship.org/content/qt8355c1fr/qt8355c1fr_noSplash_7b43e3c6b77cc7b4c780e5cbef81d5ac.pdf?t=ny5v3b ↩︎
9. Jacob D. Bekenstein, Das holografische Universum“, in; Spektrum.de, [Digitale Ausgabe], URL: https://www.spektrum.de/magazin/das-holografische-universum/830304 ↩︎