5.6.6.2 Der De-Sitter Raum als „kausaler Diamant“

5.6.6.2 Der De-Sitter Raum als „kausaler Diamant“

1. Definition eines kausalen Diamanten

Wie in Abb. 1 dargestellt bildet die Überschneidung des Zukunfts(licht)kegels des Punktes A mit dem Vergangenheits(licht)kegel des Punktes B einen „kausalen Diamanten“ (in 5.6.6.1, Abb. 1, A = p und B = p‘ ).

„Ein kausaler Diamant ist definiert als die größte Region der Raumzeit, die einem Beobachter innerhalb einer begrenzten Lebenszeit kausal zugänglich ist.“
Also eine „Region, mit der ein Beobachter während seiner Lebenszeit Signale austauschen kann, .. aus der er Signale von anderen Beobachtern empfangen und Signale an andere Beobachter senden kann.“ Einem Beobachter O am Südpol (O_s) des Penrose Diagramms (vgl. 5.6.6.7, Abb. 1) ist nur der rechte Rindler–Keil ℜ_S kausal zugänglich. (vgl. 5.6.3, Abb. 3).¹

Abb.1 „Die grüne Region bezeichnet den kausalen Diamanten der Greöße 2α („Radius“ α). Es ist die Raumzeitregion, die einem Beobachter innerhalb einer begrenzten Lebenszeit zugänglich τ = 2α. die Grenzen (boundaries) des Diamanten sind kausale Horizonte.“ wobei τ die Lebenszeit des Beobachters kennzeichnet.´² Da der Beobachter in einem kausalen Diamanten nur einen endlichen Teil der Raumzeit einsehen kann, hat die Region eine endliche quantenmechanische Entropie. Die fundamentale Beziehung zwischen der Entropie S, der Fläche A des Diamanten und der Lichtgeschwindigkeit sowie der Planck-Länge ergibt sich oft aus der Thermodynamik der Raumzeit:
S = ^A/4Gh (vgl. 5.6.2).³ Ein Beobachter mit einer endlichen Lebensspanne, der in einem solchen Diamanten gefangen ist, nimmt das Vakuum der Quantenfeldtheorie nicht als leer wahr. Aufgrund der kausalen Horizonte an den Rändern des Diamanten nimmt er das Quantenvakuum als einen thermischen Zustand (ähnlich der Hawking-Strahlung) wahr, dessen Temperatur von seiner Lebensspanne \(\mathcal{T}\) abhängt:
T_D = ^2ħ/πT .⁴

2. Welche Bedeutung haben kausale Diamanten?

Erstens sind kausale Diamanten besonders geeignet, um „universelle Aspekte der Raumzeit und Gravitation zu studieren.“ So ist ein Experiment auf einer zeitartigen Trajektorie (also im Inneren eines kausalen Diamanten), das in A beginnt und in B endet, mit jedem Ereignis im Diamanten in kausaler Beziehung (vgl. Abb. 1).⁵

Zweitens besitzen kausale Diamanten Null-Grenzen (= lichtartige Grenzen), sie definieren daher eine kovariante Raumzeitstruktur und ermöglichen eine kovariante Entropie Grenze (covariant entropy bound) – Boussos „holografische Grenze„, die nicht nur auf Ereignishorizonte Schwarzer Löcher anwendbar ist (vgl. Bekenstein-Grenze), sondern auch auf schnell expandierende oder kollabierende (Licht-)Flächen und die mit ihnen verbundenen raumartigen Grenzen (boundary).
Die kovariante Entropiegrenze Raphael Boussos impliziert, dass die Entropie an der Vergangenheits- und Zukunfts-Null-Grenze des kausalen Diamanten durch die Bekenstein-Hawking Formel begrenzt ist, d.h. kausale Diamanten besitzen holografische Eigenschaften.

Drittens gehorchen Ereignishorizonte typischerweise den Gesetzen der Thermodynamik. Es ist bekannt, dass Temperatur und Entropie mit den Horizonten Schwarzer Löcher, kosmologischen Horizonten (cosmological horizons) und Rindler Horizonten (vgl. 5.6.3, Abb. 3, Text) in Zusammenhang gebracht werden können. Die Null-Grenze (boundary) eines kausalen Diamanten ist lokal ein Rindler Horizont, denn Beobachter, die nahe dem Rand des Diamanten, der „edge“ (vgl. Abb. 3, Text) gleichmäßig beschleunigen, messen eine Unruh-Temperatur.
Der Unruh-Effekt besagt, dass der Vakuum Zustand Ω einer Quantenfeldtheorie in einer Minkowski Raumzeit für einen gleichmäßig beschleunigten Beobachter mit der Beschleunigung a wie ein thermischer Gleichgewichtszustand erscheint. ⁶

Viertens sind kausale Diamanten in einem maximal symmetrischen Raum konform stationär. Die konforme Symmetrie maximal symmetrischer kausaler Diamanten, dessen Raum eine konstante Krümmung besitzt, impliziert, dass der Vakuum Zustand, der auf den Diamanten beschränkt ist, für konforme Feldtheorien thermisch ist. Sie scheinen sich – bei konformen Feldern – wie thermodynamische Gleichgewichtszustände zu verhalten.⁷

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1. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xvi, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎
2. H. E. Camblong,¹ A. Chakraborty,^2,3 P. Lopez-Duque,2 and C. R. Ordonez² , Conformal quantum mechanics of causal diamonds: Time evolution, thermality, and instability via path integral functionals1 Jan 2025 ¹Department of Physics and Astronomy, University of San Francisco, San Francisco, California 94117-1080, USA ²Department of Physics, University of Houston, Houston, Texas 77024-5005, USA Institute for Quantum Computing, ³Department of Physics and Astronomy, University of Waterloo, Waterloo, Ontario N2L 3G1, Canada , December 17, 2024), p. 3, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/abs/2407.18177 ↩︎
3. Ibd. Abstract ↩︎
4. Ibd. ↩︎
5. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xvi, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎
6. Pierre Martinettiab, Carlo Rovellia, Diamondses Temperature: Unruh effect for bounded trajectories and thermal time hypothesis, Centre de Physique Théorique de Luminy, Marseille Laboratoire de Physique Théorique Université Mohammed Oujdac, Dipartimento di Fisica Universitá La Sapienza, Roma, October 25, 2018, p. 1, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0212074.pdf ↩︎
7. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xiii, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎

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