5.5.3.2 Konforme Quantenfeldtheorie

5.5.3.2 Konforme Quantenfeldteorie

Ein wichtiges „Grundprinzip der Physik ist das der Symmetrie physikalischer Modelle und Gesetze. Es ist z.B. naheliegend zu fordern, dass in jedem Punkt des Universums … die gleichen Naturgesetze gelten, d.h. dass die Naturgesetze invariant“ sind, z. B. unter Rotation der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit oder Translation, also einer „Verschiebung eines Punktes einer gegeben geometrischen Figur/ um eine festen Vektor, … mit dem Ergebnis einer zweiten, deckungsgleichen geometrischen Figur“. ¹

Die konforme Quantenfeldtheorie ist ein Bereich der „Quantenfeldtheorie, die [neben Translations– und Rotationsinvarianz auch] skaleninvariante Systeme beschreibt.“²
Dies bedeutet, „dass [z.B.] aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein i. Allg.. krummliniges Koordinatennetz entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkelund die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren. Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich auch unter 90° schneiden. ³

Eine konforme Gruppe ist die Symmetriegruppe der winkeltreuen Transformationen der Minkowski-Raumzeit. Die konforme Gruppe enthält insbesondere … die Gruppe der globalen Skalierungen x = λ x (Dilatationen).⁴

Abb.. 1: „Penrose-Diagramm als konforme Abbildung der (asymptotisch) flachen Minkowski-Raumzeit … .. [Das Diagramm repräsentiert] die identischen kausalen Zusammenhänge zwischen Ereignissen, wobei in .. die Weltlinien der Lichtstrahlen mit ${\displaystyle \pm {45}^{\circ }}$geneigte Geraden sind. Die bernsteinfarbene Kurve zeigt eine zeitartige Weltlinie, die im Penrose-Diagramm .. immer innerhalb des lilafarbenen Vorwärtslichtkegels verläuft.“⁵ „Die Bedeutung von   ${\displaystyle i^{-},i^{+},i^0,{\mathcal{I}}^{-}}$und erschließt sich aus der Betrachtung der konformen Abbildung der Geraden aus Penrose – Diagramm Konstruktion und Beschreibung: Zeitartige Weltlinien .. (die blassgrünen Koordinatenlinien mit  ${\displaystyle x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.}$und der bernsteinfarbenen Weltlinie eines gleichförmig bewegten Beobachters) beginnen in ${\displaystyle i^{-}}$. Die Raumkoordinate ist dort endlich und die Zeitkoordinate geht gegen minus unendlich.  Daher wird ${\displaystyle i^{-}}$vergangene zeitartige Unendlichkeit genannt. Die zeitartigen Weltlinien enden im Punkt  ${\displaystyle i^{+}}$. Dort ist die Raumkoordinate endlich und die Zeitkoordinate geht gegen plus unendlich. Dieser Punkt wird zukünftige zeitartige Unendlichkeit genannt. Alle zeitartigen Weltlinien verlaufen innerhalb der blassvioletten Lichtkegel. Raumartige Weltlinien (in den Abb.. 1 und 2 die blassblauen Koordinatenlinien mit t= const.) beginnen und enden im Punkt i⁰ .  Dort ist die Zeitkoordinate endlich und die Raumkoordinate geht gegen unendlich. Dieser Punkt wird raumartige Unendlichkeit genannt.  Lichtartige Weltlinien, sogenannte Nullgeodäten (die Bahnen von Lichtstrahlen beziehungsweise Photonen, in Abb.. 1 .. die schwarzen mit  ${\displaystyle \pm {45}^{\circ }}$ geneigten Geraden)  beginnen an den Kante ${\displaystyle {\mathcal{I}}^{-}}$ und enden an den Kanten ${\displaystyle {\mathcal{I}}^{+}}$. Daher werden ${\displaystyle {\mathcal{I}}^{-}}$vergangene Nullunendlichkeit und ${\displaystyle {\mathcal{I}}^{+}}$zukünftige Nullunendlichkeit genannt.“⁶

1. Raimar Wulkenhaar, Einführung in die konforme Feldtheorie, Universität Münster, Wintersemester 11, [Digitale Ausgabe], URL: https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/raimar/lehre/WS11/Konforme-Feldtheorie/cft-einfuehrung.pdf; vgl. auch Artikel „Trasnslationssysmedtrie“, in Spektrum.de, Lexikon der Physik, https://www.spektrum.de/lexikon/physik/translationssymmetrie/14710) ↩︎
2. Artikel „Skaleninvarianz“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Skaleninvarianz ↩︎
3. Artikel „Konforme Abbildung“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung; vgl. auch Artikel „Penrose-Diagramm, in: Lexikon der Physik, Spektrum.de, [Digitale Ausgabe, URL: https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/penrose-diagramm/330 ↩︎
4. Karl-Henning Rehren, Konforme Quantenfeldtheorie, Vorlesung G ¨ottingen WS 1997/98, niedergeschrieben von S. Köster, J. Schimmel und H. Tuneke, S. 3, [Digitale Ausgabe], URL: https://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/papers/rehren/cqft9798.pdf ↩︎
5. Artikel „Penrose Diagramm“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Diagramm: ↩︎
6. Ibd. ↩︎

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