5.6.6.1 De-Sitter Space Revisited

5.6.6.1 De-Sitter Space Revisited

1. Der globale De-Sitter Raum

Wir haben die De-Sitter Raumzeit (d+n) bereits in Kapitel 5.5.2.2 Abb. 1 kennengelernt.
Sie lässt sich als raumartiger Hyberboloid darstellen, ist unendlich und asymptotisch flach, d.h. „über sehr große Distanzen“ nähert sie sich (von einer beliebigen Raumzeitregion aus) einem Minkowski-Raum an.

Man kann einem De-Sitter Raum koordinatenunabhängig eine „Grenze“ (boundary) zuordnen. Diese repräsentiert dann die „Unendlichkeit“.
Bei d = 4 lässt sich die entsprechende De-Sitter Geometrie gut auf die Friedmann-Robertson-Walker Beschreibung unseres Universums anwenden, sowie auch mit einer exponentiellen Inflation verbinden; man erhält den De-Sitter Raum leicht aus einem („leeren“) Friedmann Universum durch Weglassung von Energiedichte, Druck und Materie (vgl. 5.5.2.2).¹

Der DE-Sitter Raum weist beobachterabhängige Horizonte auf. Daher kann ein bewegter Beobachter nur Kenntnis eines begrenzten Teils des Raumes erlangen. „Es gibt Ereignisse, die zu keinem Zeitpunkt in seinem Vergangenheits– oder Zukunftslichtkegel liegen, die also keinerlei kausale Verbindung zu ihm aufweisen.“ (vgl. unten 5.6.6.2).²

Abb. 1 stellt einen dS₄ De-Sitter Raum dar. Er entsteht durch Einbettung in einen fünfdimensionalen, flachen Minkowski-Raum ℝ^1,4, wobei ℝ¹ für die Zeit und ℝ⁴ für 4 Raumdimensionen steht und wird in der Abbildung durch die globalen Einbettungskoordinaten T, χ, θ, Φ beschrieben. Die globalen Koordinaten für dS₄ (einem einschaligen Hyperboloid, vgl. Abb.) sind gegeben durch: X⁰ = a sinh (^T/_a), X^→ = a cosh (^T/_a)n^→. Dabei steht T steht für die konforme Zeit von – π/₂ in der Vergangenheitsunendlichkeit und + π/₂ in der unendlichen Zukunft (vgl. T = η in 5.6.6.2, Abb. 1 und Text). wobei X^→ = (X¹X²,X³,X⁴, ⃗n = (cosχ, sinχcosθ, sinχsinθcosΦ , sinχsinΘsinΦ) mit T ∈ (- ∞, ∞), 0 ≤ χ ≤ π und 0 ≤ χ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ π

Das oben dargestellte Modell ist reduziert, die Dimensionen (sphärischen polaren Winkel) θ und Φ wurden weggelassen. In einem vollständigen dS₄ Modell würdeθ = ^π⁄₂ die konforme Zeit bedeuten und <Φ = (0,π) den Nord- bzw. Südpol der 3-Sphäre (vgl. 5.6.6.8 Abb. 1, (b)
Die reduzierte Abbildung ermöglicht eine visuelle Darstellung des dS₄ Raumes als 2-dimensionaler, einschaliger Hyperboloid, eingebettet in einen 3-dimensionalen Minkowski-Raum.
Abb. 1 weist folgende Größenangaben auf: „geodätische Normale“ („Geodesic normals“) [Normale als Richtungsvektor, senkrecht auf einer Kurve, Geraden, Fläche], „Flächen mit konstanter Zeit „t“ („Surfaces of constant time „t„), „t“ wächst an“ („t„increases“), „t=0; Minimaldistanz zwischen geodätischen Normalen“ („minimum distance between geodesic normals“), χ ist ein anwachsender, polarer Winkel, der die Sphäre parametrisiert („χ“ increases“), „χ = 0″, χ = π„ und p und „χ = π“ p‘, pp‘ markiert die Linie, die die Punkte p und p‘ miteinander verbindet. ³

2. Holografische Quantenmechanik in einer „kausalen Region“

Leonard Susskind et alieni hat angesichts der Bisher blieb es nur bei unbefriedigenden Versuche eine der AdS/CFT Korrespondenz ( vgl. 5.6.4., 5.6.5) vergleichbare De-Sitter/CFT Korrespondenz (vgl. 5.6.7) zu finden. Leonard Susskind et alieni haben daher im Jahr 2003 im Rahmen einer „Static Patch Holography“ den Versuch unternommen , eine holografische Lösung für den De-Sitter Raum auf eine beobachterabhängige „kausale Region“ (vgl. 5.6.6.6, 2a) – c)) zu beschränken.

„Eine statische [kausale, d.V.] Region ist dadurch definiert, dass man eine Punktepaar⁶ wählt, einen Punkt auf der asymptotischen Vergangenheit und einen auf der asymptotischen Zuzkunft. Die stiatische Region ist die Überschneidung der kausalen Zukunft des Vergangenheitspunktes und der kausalen Vergangenheit des Zukunftspunktes. Auf die geodätische Verbindung der asymptotischen Punkte wird als Weltlinie der ‚Pode‘ verwiesen.

Beobachter, die ihre gesamte Existenz in einer statischen Region verbringen sehn, dass ihre Welt durch einen Ereignishorizont [~Grenze für den beobachterabhängigen Zugang zu Information, d. V.] begrenzt ist, obwohl die gesamte [globale d. V] Geometrie [des De-Sitter Raums] keine Grenze [„boundary~ Grenze des von Expansion und Lichtgeschwindigkeit abhängigen beobachtbaren Universums, d. V] besitzt. Unsere zentrale These lautet, dass alles, was im der statischen Region passiert als unitäres holografisches System beschrieben werden kann, deren Freiheitsgrade [etwa Qubits, d.V.] auf dem gestreckten Horizont .. [eine Fläche, die in einem sehr kurzen Abstand von dem Ereignishorizont befindet, d.V.] lokalisiert werden kann.

Die holografische Quantenmechanik , die einen Hilbertraum und einen hermitesche Hamilton-Funktion umfasst, erlaubt es uns, bestimmte thermische Eigenschaften der statischen Region zu definieren, zu denen eine Dichtematrix, eine Temperatur T = 1/ β und eine Entropie S0. gehört, wobei β die Temperatur des Horizontes der statischen Region ist:

ρ = e^−βH / Z

β = 1 / T = 2πR

S0 = Tr ρ log ρ = πR² / G„ ⁴ .

In den obigen Gleichungen ist ρ der Dichteoperator [-matrix, d. V.], e die Eulersche Zahl [$e\approx 2,71828.\mathrm{.}\mathrm{.}$und die Basis des natürlichenLogarithmus , ln, d. V.] und Z die Zustandssumme (Normalisierungskonstante) ist, die sicherstellt, dass die quantenmechanische Wahrscheinlichkeiten auf 1 normiert sind. Die Gleichung der De-Sitter Entropie besteht aus Tr , der Spur des Dichteoperators log ρ, dem Logarithmus des Dichteoperators, R² , der Radius des De-Sitter Patches, G, der Gravitationskonstante.

Abb, 2 Konformes Diagramm eines 2-D de-Sitter Raums und die statische Region [der „kausale Diamant„, d. V.] definiert durch ein Punktepaar, i.e. einen asymptotischen Vergangenheitspunkt und einen asymptotischen Zukunftspunkt. Die statische Region (gelb) ist die Überschneidung der kausalen Zukunft des Vergangenheitspunktes und der kausalen Vergangenheit des Zukunftspunktes. Die Überschneidung der zwei Lichtkegel (vgl. „kausaler Diamant„), im Diagramm dargestellt als rote Punkte, definierte den die Ereignishorizont Bifurkation. Die gestrichelte blaue Kurve zeigt die Identifizierung der linken und rechten Grenzen.“⁵ (Übers. duch d.V.)

1. Felipe Diaz, De Sitter Entangelement and Conformal Description of the Cosmlogical Horizon, Universidad Andrés Bello, 2019, pp. 1 seqq., [Digitale Ausgabe],URL: https://arxiv.org/pdf/1911.06627.pdf; vgl. auch Gim Seng Ng, „Aspects of Symmetry in de Sitter Space“, Harvard University, April 2014, pp. 1-3, [Digitale Ausgabe], URL: https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/12269818/Ng_gsas. harvard_0084L_11443.pdf?sequence=4&isAllowed=y [Übersetzungen aus dem Englischen durch Verfasser] ↩︎
2. Christian Blohm, Der de-Sittter Raum, 2008, [Digitale Ausgabe], URL: http://www.christianblohm.de/files/deSitter.pdf ↩︎
3. Ricard Monge Calvo. Facultat de Física, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2018, p. 1 seq., [Digitale Ausgabe], URL: http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/125099/1/Monge%20Calvo%20Ricard.pdf ↩︎
4. Leonard Susskind, „De Sitter Holography: Fluctuations, Anomalous Symmetry, and Wormholes“, p. 8 secq., [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/2106.03964 ↩︎
5. Ibd. ↩︎

Zurück Weiter