5.6.6.1 De-Sitter Space Revisited
Wir haben die De-Sitter Raumzeit (d+n) bereits in Kapitel 5.5.2.2 Abb. 1 kennengelernt.
Sie lässt sich als raumartiger Hyberboloid darstellen, ist unendlich und asymptotisch flach, d.h. „über sehr große Distanzen“ nähert sie sich (von einer beliebigen Raumzeitregion aus) einem Minkowski-Raum an.
Man kann einem De-Sitter Raum koordinatenunabhängig eine „Grenze“ (boundary) zuordnen. Diese repräsentiert dann die „Unendlichkeit“.
Bei d = 4 lässt sich die entsprechende De-Sitter Geometrie gut auf die Friedmann-Robertson-Walker Beschreibung unseres Universums anwenden, sowie auch mit einer exponentiellen Inflation verbinden; man erhält den De-Sitter Raum leicht aus einem („leeren“) Friedmann Universum durch Weglassung von Energiedichte, Druck und Materie (vgl. 5.5.2.2 Die Geometrie der De-Sitter Raumzeit).1
Der DE-Sitter Raum weist beobachterabhängige Horizonte auf. Daher kann ein bewegter Beobachter nur Kenntnis eines begrenzten Teils des Raumes erlangen. „Es gibt Ereignisse, die zu keinem Zeitpunkt in seinem Vergangenheits– oder Zukunftslichtkegel liegen, die also keinerlei kausale Verbindung zu ihm aufweisen.“ (vgl. unten 5.6.6.2).2
Abb. 1 stellt einen dS4 De-Sitter Raum dar. Er entsteht durch Einbettung in einen fünfdimensionalen, flachen Minkowski-Raum ℝ1,4, wobei ℝ1 für die Zeit und ℝ4 für 4 Raumdimensionen steht und wird in der Abbildung durch die globalen Einbettungskoordinaten T, χ, θ, Φ beschrieben. Die globalen Koordinaten für dS4 (einem einschaligen Hyperboloid, vgl. Abb.) sind gegeben durch: X0 = a sinh (T/a), X→ = a cosh (T/a)n→ Dabei steht T steht für die konforme Zeit von – π/2 in der Vergangenheitsunendlichkeit und + π/2 in der unendlichen Zukunft (vgl. T = η in 5.6.6.2 Der De Sitter Raum als „kausaler Diamant„, Abb. 1 und Text). wobei X→ = (X1X2,X3,X4, ⃗n = (cosχ, sinχcosθ, sinχsinθcosΦ , sinχsinΘsinΦ) mit T ∈ (- ∞, ∞), 0 ≤ χ ≤ π und 0 ≤ χ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ π
Das oben dargestellte Modell ist reduziert, die Dimensionen (sphärischen polaren Winkel) θ und Φ wurden weggelassen. In einem vollständigen dS4 Modell würde θ = π⁄2 die konforme Zeit bedeuten und <Φ = (0,π) den Nord- bzw. Südpol der 3-Sphäre (vgl. 5.6.6.7 Die Bedeutung der kosmologischen Konstante Λ, Abb. 4, (b)
Die reduzierte Abbildung ermöglicht eine visuelle Darstellung des dS4 Raumes als 2-dimensionaler, einschaliger Hyperboloid, eingebettet in einen 3-dimensionalen Minkowski-Raum.
Abb. 1 weist folgende Größenangaben auf: „geodätische Normale“ („Geodesic normals“) [Normale als Richtungsvektor, senkrecht auf einer Kurve, Geraden, Fläche], „Flächen mit konstanter Zeit „t“ („Surfaces of constant time „t„), „t“ wächst an“ („t„ increases“), „t=0; Minimaldistanz zwischen geodätischen Normalen“ („minimum distance between geodesic normals“), χ ist ein anwachsender, polarer Winkel, der die Sphäre parametrisiert („χ“ increases“), „χ = 0″, χ = π„ und p und „χ = π“ p‘, pp‘ markiert die Linie, die die Punkte p und p‘ miteinander verbindet. 3
- Felipe Diaz, De Sitter Entangelement and Conformal Description of the Cosmlogical Horizon, Universidad Andrés Bello, 2019, pp. 1 seqq., [Digitale Ausgabe],URL: https://arxiv.org/pdf/1911.06627.pdf; vgl. auch Gim Seng Ng, „Aspects of Symmetry in de Sitter Space“, Harvard University, April 2014, pp. 1-3, [Digitale Ausgabe], URL: https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/12269818/Ng_gsas. harvard_0084L_11443.pdf?sequence=4&isAllowed=y [Übersetzungen aus dem Englischen durch Verfasser] ↩︎
- Christian Blohm, Der de-Sittter Raum, 2008, [Digitale Ausgabe], URL: http://www.christianblohm.de/files/deSitter.pdf ↩︎
- Ricard Monge Calvo. Facultat de Física, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2018, p. 1 seq., [Digitale Ausgabe], URL: http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/125099/1/Monge%20Calvo%20Ricard.pdf ↩︎
