5.5.2.2 Die Geometrie der De-Sitter Raumzeit

5.5.2.2 Die Geometrie der De-Sitter Raumzeit

Für die „De-Sitter Raumzeit“ (DS) sieht die Situation im Unterschied zur AdS Raumzeitgeometrie gänzlich anders aus. Auch sie ist, wie die AdS Raumzeit, eine – im Jahr 1917 – von dem niederländischen Astronom Willem de Sitter (1872 – 1927) als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen beschriebene Variante des Einstein Universums.¹

Abb. 1 Willem de Sitter

Die Methode z. B. einen flachen dreidimensionalen, euklidischen Raum ℜ³ durch eine gekrümmte Geometrie (wie den De-Sitter Raum) zu ersetzen besteht darin, den gekrümmten (DS) Raum in eine (fiktive) flache vierdimensionale Welt einzubetten (z. B. in den Minkowski Raum) und darin die Geometrie geeigneter dreidimensionaler Hyperflächen zu betrachten, i.e. dS_d → M_d+1. ².

Das einfachste gekrümmte Modell des Raums ist die Fläche einer Hypersphäre, z.B. einer 3-Sphäre (S₃), eingebettet in einen vierdimensionalen flachen euklidischen Raum ℜ⁴.

„Das De-Sitter-Raumzeit Universum weist die Topologie R¹ x S³ auf, R¹ ist die Zeit und S³ steht für die 3 Raumdimensionen [x, y, z].“ ³
Die De-Sitter Geometrie erzeugt ein materie- und strahlungsfreies, beschleunigt expandierendes Universum mit einer positiven kosmologische Konstante (Λ > 0), d. h. eine konstante positive skalare Krümmung, die an jedem Punkt durch eine einzige Zahl (Skalar) bestimmt wird.
Die Materiefreiheit des DE-Sitter-Raums verstößt allerdings gegen das Machsche Prinzip: „ohne Materie, keine Geometrie“ (Raumkrümmung).

Abb. 2 Krümmung der Raumzeit durch Massen

Dennoch scheint sich unser Kosmos auf Grund seiner beschleunigten Expansion zunehmend einer materiefreien De-Sitter-Geometrie anzunähern. Die Materie- bzw. Energiedichte unseres Universums beträgt zur Zeit (nur noch) ca. 30% (ca. 5% baryonische Materie und ca. 25% dunkle Materie), aber bereits 70% dunkle Energie, dem einzigen Bestandteil einer DE-Sitter Raumzeit.

Abb. 3 zeigt einen zweidimensionalen De-Sitter-Raum. Radius (l² = X²) und Volumen erreichen zum Zeitpunkt t = 0 ihre Minimalwerte. Der DS Raum kann als 4-d Hyperboloid (eingebettet in einen fünfdimensionalen Minkowskiraum) veranschaulicht werden (2 Dimensionen wurden in Abb. 1 weggelassen), mit der Oberfläche –₀X²+₁X²+₂X²+₃X²+₄X² = ¹⁄ _H² , wobei –₀X² bis –₄X²die Raumdimensionen darstellen und H die Hubble Konstante ist. In einem euklidischen Raum (ℜ³) – einem mit einem Skalarprodukt ausgestatteten Vektorraum (vgl. Fußnote [1] Matthias Scholz, „Wie sieht das Universum aus?) – entspricht der Hyperboloid einer unendlich großen Kugel, die aus der Vergangenheitsunendlichkeit kommend bis auf (fast) Null kontrahiert, um dann wieder auf unendliche Größe zu wachsen. Im vierdimensionalen Minkowskiraum O(3,1) bildet der De-Sitter Raum somit eine 3-Sphäre S³), „das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum“.⁴

Die DS Geometrie beschreibt eine maximal symmetrische lorentzische Raumzeit (Lorentz Metrik: mit zeitartigen, raumartigen und lichtartigen Vektoren). Sobald der DS-Raum als leerer Raum approximiert werden kann – er ist, wie oben erwähnt, bereits heute zu ca. 70% materiefrei – kann auf Grund seiner maximalen Symmetrie kein Raum- und Zeitpunkt von einem anderen unterschieden werden, „weil jeder Punkt des DE-Sitter Raums durch eine Symmetrietransformation (Isometrie) auf einen anderen Punkt abgebildet werden kann“. ⁵ Seine Metrik wird durch den umgebenden Minkowskiraum erzeugt (Λ = 0) und besitzt eine (Lorentzische Signatur [- + + +].
„Die Geometrie des de Sitter Universums ist zudem theoretisch komplizierter als die des Einstein Universums, da nicht nur die drei Raumkoordinaten sondern auch die Zeitkoordinate Bestandteil der Krümmung der Raumzeit ist. Sie besitzt somit eine höhere Symmetrie als die Raumzeit des Einstein-Universums.“⁶

Interessant ist auch die Tatsache, dass man ein Friedmann-Robertson-Walker (FLRW) Universum – in Abhängigkeit von dem jeweiligen Krümmungsfaktors (k = 0, k = 1 oder (k = -1, i.e. abhängig von der Existenz einer flachen, geschlossenen oder offenen (hyperbolischen) Topologie) – durch geeignete Wahl der Einbettungs-Koordinaten so transformieren kann, dass es einen Teilraum des (DS) Hyperboloids bildet.
Die Anwendung der ursprünglich von Willem de Sitter verwendeter „statischen Koordinaten „, (bei k = 0), zieht zwei interessante Phänomene nach sich:

1.„Zeit fließt an unterschiedlichen Punkten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und

2. es existiert ein ‚Ereignishorizont‚, an dem der Zeitfluss unendlich langsam wird“. ⁷

Die Wahl „planarer Koordinaten„ beschreibt einen flachen, exponentiell expandierenden Raum als einschaligen (halben) Hyperboloid.
„Globale Koordinaten„ definieren einen vollständigen, zunächst kontrahierenden und anschließend expandierenden Hyperboloid (vgl. Abb. 1).

„Konforme Koordinaten“ definieren, ebenso wie globale Koordinaten, einen vollständigen, einschaligen Hyperboloid (vgl. Abb. 1 und unten 5.5.3.2).⁸

Um den „Ereignishorizont“ einer De-Sitter Raumzeit genauer zu untersuchen (vgl. unten „Ereignishorizont“), führt man eine Transformation auf eine konform verwandte Metrik durch (z.B. eine Minkowski Metrik).
Zwei Metriken g_μν (=Ausgangsmetrik) und ¯g_μν (=konforme Metrik) heißen konform verwandt, wenn eine Funktion Ω (x^μ) > 0 der Raumzeitkoordinaten existiert, so dass gilt ¯g_μν = Ω²(x^μ)g_μν , wobei Ω den konformen Faktor (kosmischen Reskalierungsfaktor) darstellt, der die Ausgangsmetrik mit der konformen Metrik verknüpft.
Als konformer Faktor geeignet ist beispielsweise die Arcus Tangens Funktion. Sie ordnet einem Intervall von -∞ bis +∞ einen Intervall von -pi/2 bis +pi/2 zu. Sinn dieser Prozedur ist das Verhalten von Metriken im Unendlichen auf einen endlichen Bereich abzubilden wie im Penrose Diagramm ersichtlich. (2.97)21 [vgl. 5.5.3.2, Abb. 1].