5.5.3.2 Die konforme Quantenfeldteorie
Ein wichtiges „Grundprinzip der Physik ist das der Symmetrie physikalischer Modelle und Gesetze. Es ist z.B. naheliegend zu fordern, daß in jedem Punkt des Universums … die gleichen Naturgesetze gelten, d.h. die Naturgesetze sind invariant“ z. B. unter Rotation der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit oder Translation, also einer „Verschiebung eines Punktes einer gegeben geometrischen Figur/ um eine festen Vektor t, … mit dem Ergebnis einer zweiten, deckungsgleichen geometrischen Figur“. 1
Die konforme Quantenfeldtheorie ist ein Bereich der „Quantenfeldtheorie, die [neben Translations- und Rotationsinvarianz auch] skaleninvariante Systeme beschreibt.2
Dies bedeutet, „dass [z.B.] aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein i. Allg. krummliniges Koordinatennetz entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkel und die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren. Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich auch unter 90° schneiden. 3
Die Konforme Gruppe ist die Symmetriegruppe der winkeltreuen Transformationen der Minkowski-Raumzeit. Die konforme Gruppe enthält insbesondere … die Gruppe der globalen Skalierungen x = λ x (Dilatationen).4
Abb. 1. zeigt ein ein zweidimensionales Penrose Diagramm, das den kausalen Zusammenhang verschiedener Punkte in einer Raumzeit darstellt. Diese Darstellung erfolgt durch eine „konforme Abbildung„, die auf einer „konformen Metrik“ (ĝμν = Ω2 ĝμν) beruht, wobei „ĝ“ der konforme metrische Tensor, „Ω“ der „konforme Faktor“ und „gμν„ die Minkowski-Metrik ist.
„Sinn dieser Prozedur ist es, das Verhalten im Unendlichen von Metriken auf einen endlichen Bereich abzubilden“ (vgl. konforme Abbildung). Die Zeit verläuft im Penrose-Diagramm vertikal von unten nach oben, der Raum horizontal. Bestimmten Punkten und Kanten des Penrose-Diagramms werden im Diagramm Symbole zugeordnet, die unterschiedliche Unendlichkeiten bezeichnen, wie z.B. die „raumartige Unendlichkeit„, ein Gebiet, wo die Raumkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Zeitkoordinate endlich bleibt, die „vergangene zeitartige Unendlichkeit„, wo die Zeitkoordinate gegen negativ unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt und die „zukünftige zeitartige Unendlichkeit„, wo die Zeitkoordinate gegen positiv unendlich geht, während die Raumkoordinate endlich bleibt (vgl. Penrose-Diagramm. Der diagonale Pfeil beschreibt die in 45° verlaufenden Lichtstrahlen (Null-Geodäten, die auf die „vergangene oder die zukünftige Nullunendlichkeit“ zulaufen. 5 (vgl. konforme Abbildung).
- Raimar Wulkenhaar, Einführung in die konforme Feldtheorie, Universität Münster, Wintersemester 11, [Digitale Ausgabe], URL: https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/raimar/lehre/WS11/Konforme-Feldtheorie/cft-einfuehrung.pdf; vgl. auch Artikel „Trasnslationssysmedtrie“, in Spektrum.de, Lexikon der Physik, https://www.spektrum.de/lexikon/physik/translationssymmetrie/14710) ↩︎
- Artikel „Skaleninvarianz“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Skaleninvarianz ↩︎
- Artikel „Konforme Abbildung“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung; vgl. auch Artikel „Penrose-Diagramm, in: Lexikon der Physik, Spektrum.de, [Digitale Ausgabe, URL: https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/penrose-diagramm/330 ↩︎
- Karl-Henning Rehren, Konforme Quantenfeldtheorie, Vorlesung G ¨ottingen WS 1997/98, niedergeschrieben von S. Köster, J. Schimmel und H. Tuneke, S. 3, [Digitale Ausgabe], URL: https://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/papers/rehren/cqft9798.pdf ↩︎
- Artikel „Penrose diagram“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_diagram; vgl. auch Artikel „Ähnlichkeitsabbildung“, in: Wikipedia, [Digitale Ausgabe], URL: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeitsabbildung ↩︎
