5.6.6.2 Der De-Sitter Raum als „kausaler Diamant“

5.6.6.2 Der De-Sitter Raum als „kausaler Diamant“

Wie in Abb. 1 dargestellt bildet die Überschneidung des Zukunfts(licht)kegels des Punktes p mit dem Vergangenheits(licht)kegel des Punktes q in 5.6.6.1, Abb. 1 (= p‚ in 5.6.6.1, Abb.1 und 3) einen „kausalen Diamanten“ dar.
„Ein kausaler Diamant ist definiert als die größte Region der Raumzeit, die einem Beobachter innerhalb einer begrenzten Lebenszeit kausal zugänglich ist.“
Also eine „Region, mit der ein Beobachter während seiner Lebenszeit Signale austauschen kann und aus der er Signale von anderen Beobachtern empfangen und Signale an andere Beobachter senden kann.“ Einem Beobachter O am Südpol (O_s) des Penrose Diagramms (vgl. 5.6.6.7, Abb. 4 (a/c) ist nur der rechte Rindler–Keil ℜ_S kausal zugänglich. (vgl. auch 5.6.3, Abb. 3).¹

Abb. 1 zeigt den „3-dimensionale Anblick eines Alexandrow Intervals (kausalen Diamanten) mit zwei räumlichen Dimensionen plus Zeit. [„Wenn q die Zukunft von p ist, gibt es mehrere Weltlinien, die sie verbindet, sonst ist die gesamte Region C(p,q) leer oder entartet.„] In dem Beispiel sind Vergangenheits– und Zukunftslichtkegel (hellviolette Farbe) über eine 3-dimensionale Sphäre gelagert, die als dunkelvioletter Kreis repräsentiert ist, weil die dritte Dimension nicht dargestellt werden kann. Das hellviolette Volumen wird kausaler Diamant genannt. … Die schrägen Linien stellen drei der unendlichen Pfade dar, die p und q verbinden, jeder Pfad steht für eine ander ‚Geschichte‘ (‚history‘) in dem Sinne wie sie von Feynmann zugeordnet und von Bousso gekürzt dargestellt wurde. … Das Alexandrow Interval wird begrenzt durch die obere Spitze des Kegels, ein Teil des Vergangenheitslichtkegels von q und die untere Spitze des Kegels, ein Teil des Zukunftslichtkegels von p und umfassen auf diese Weise die gesamte Untermenge der Punkte in dem (rosafarbige) Doppelkegeln,…“. [Übers. d. Verf.]²

Erstens sind kausale Diamanten besonders geeignet, um „universelle Aspekte der Raumzeit und Gravitation zu studieren.“ So ist ein Experiment auf einer zeitartigen Trajektorie (also im Inneren eines kausalen Diamanten), das in p beginnt und in q endet, mit jedem Ereignis im Diamanten in kausaler Beziehung (vgl. Abb. 1).³

Zweitens besitzen kausale Diamanten Null-Grenzen (= lichtartige Grenzen), sie definieren daher eine kovariante Raumzeitstruktur und ermöglichen eine kovariante Entropie Grenze (covariant entropy bound) – Boussos „holografische Grenze„, die nicht nur auf Ereignishorizonte Schwarzer Löcher anwendbar ist (vgl. Bekenstein-Grenze), sondern auch auf schnell expandierende oder kollabierende (Licht-)Flächen und die mit ihnen verbundenen raumartigen Grenzen (boundary).
Die kovariante Entropiegrenze Raphael Boussos impliziert, dass die Entropie an der Vergangenheits- und Zukunfts-Null-Grenze des kausalen Diamanten durch die Bekenstein-Hawking Formel begrenzt ist, d.h. kausale Diamanten besitzen holografische Eigenschaften.

Drittens gehorchen Ereignishorizonte typischerweise den Gesetzen der Thermodynamik. Es ist bekannt, dass Temperatur und Entropie mit den Horizonten Schwarzer Löcher, kosmologischen Horizonten (cosmological horizonts) und Rindler Horizonten (vgl. 5.6.3, Abb. 3,Text) in Zusammenhang gebracht werden können. Die Null-Grenze (boundary) eines kausalen Diamanten ist lokal ein Rindler Horizont, denn Beobachter, die nahe dem Rand des Diamanten, der „edge“ (vgl. Abb. 3, Text) gleichmäßig beschleunigen, messen eine Unruh-Temperatur.
Der Unruh-Effekt besagt, dass der Vakuum Zustand Ω einer Quantenfeldtheorie in einer Minkowski Raumzeit für einen gleichmäßig beschleunigten Beobachter mit der Beschleunigung a wie ein thermischer Gleichgewichtszustand erscheint. ⁴

Viertens sind kausale Diamanten in einem maximal symmetrischen Raum konform stationär. Die konforme Symmetrie maximal symmetrischer kausaler Diamanten, dessen Raum eine konstante Krümmung besitzt, impliziert, dass der Vakuum Zustand, der auf den Diamanten beschränkt ist, für konforme Feldtheorien thermisch ist. Sie scheinen sich – bei konformen Feldern – wie thermodynamische Gleichgewichtszustände zu verhalten.⁵

1. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xvi, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎
2. What is a Root Cause? General Relativity Answer. „Causal Diamonds and Histories“ Graphene® Beverage Packaging Experts, [Digitale Ausgabe], URL: https://graphene.limited/designer-portal/root-cause-analysis/what-is-a-root-cause-/root-cause-and-general/index.html ↩︎
3. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xvi, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎
4. Pierre Martinettiab, Carlo Rovellia, Diamondses Temperature: Unruh effect for bounded trajectories and thermal time hypothesis, Centre de Physique Théorique de Luminy, Marseille Laboratoire de Physique Théorique Université Mohammed Oujdac, Dipartimento di Fisica Universitá La Sapienza, Roma, October 25, 2018, p. 1, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0212074.pdf ↩︎
5. Manus Renze Visser, Emergent Gravityin a Holographic Universe, Academisch Proefschrift, Universiteit van Amsterdam, 15. August 2019, p. xiii, [Digitale Ausgabe], URL: https://arxiv.org/pdf/1908.05469.pdf ↩︎